Приветствую, это Андрей Столяров.

В конце предыдущего ролика я заявил, что я не атеист, что, подозреваю, многих могло несколько удивить. Но и верующим я тоже, разумеется, не являюсь. Кто видел интервью со мной, которое сделал Лекс Борода, может вспомнить, что я тогда охарактеризовал себя как игностик. Но с тех пор — ну, это весной 21го года было, два с половиной года прошло, не так уж мало в общем-то — вот за эти два года я вообще-то чуть-чуть скорректировал свою позицию. То есть сейчас я уже даже не игностик. И как я, спрашивается, теперь отношусь к идее бога? А очень просто: я предполагаю, что бог есть. Именно так, вы не ослышались и всё поняли правильно (наверное, хотя не факт). В общем ещё раз: я предполагаю, что бог есть.

Сразу скажу, что религиозникам радоваться рано. Во-первых, вот уж в чём я совершенно уверен, так это что если бог даже и есть, то уж точно не такой, как они рассказывают. А во-вторых, предположение и вера — это, знаете ли, две большие разницы или четыре маленькие.

Ну вот, например, в школе все изучали математику. Хоть до какой-то степени обычно её люди представляют, хоть как-то. И знают, что в математике есть аксиомы. Кстати, почему-то многие уверены, что аксиомы есть только в геометрии, спасибо за это авторам школьных учебников алгебры, чтоб им пусто было. Если вы тоже думаете, вот вы, что аксиомы бывают только в геометрии — ну, вынужден вас разочаровать, вас очень жёстко, э-ммм..., обманули.

Обыкновенные числа и известная с первого класса, если не с детского садика арифметика требуют бОльшего и существенно более запутанного количества аксиом, нежели чем евклидова геометрия. В частности, дважды два четыре — это отнюдь не так просто, как в этом уверено большинство людей. Минимальный — подчёркиваю, минимальный набор аксиом, определяющий умножение, содержит их, аксиом вот этих, девять штук, ни одну выкинуть нельзя. И этот набор аксиом определяет только натуральные числа, в нём нет нуля, нет отрицательных, нет дробей, и, кстати, нет ни вычитания, ни деления, только сложение и умножение натуральных. И уже девять аксиом. То есть — девять таких утверждений, которые просто предполагаются верными.

Между прочим, в школьных учебниках, вот в школьных учебниках геометрии, где есть аксиомы, мне встречалось такое утверждение, что якобы аксиомы, ну, это настолько простые утверждения, что доказать их нельзя, но и не надо, поскольку они очевидны. А ещё иногда про аксиомы в учебниках пишут, что они якобы принимаются на веру (тьфу! зла не хватает).

Авторы учебников, которые такое пишут, я бы сказал, просто вредители. Подобная ахинея — а это именно ахинея — формирует у учеников совершенно вывернутую картину мира. Если ваша картина мира именно такова — ну, то есть вот вы, лично вы, считаете, что аксиомы — это настолько простые и очевидные утверждения, что их доказать не получается, но и не надо доказывать, они и так верные, без доказательств — или если вы считаете, что аксиомы принимаются на веру, я даже не знаю, что хуже — так вот если у вас такая картина мира, то сейчас я эту картину мира попытаюсь раздолбать, потому что, в общем, она этого вполне заслуживает.

Многие наверняка уже поняли, куда я клоню, ну, кто пограмотнее, с математикой знаком, ждут, наверное, появления фамилии Лобачевского. Обязательно будет, но чуть позже. А начну я с так называемой аксиомы выбора. Это очень простая аксиома. Если у вас есть какие-то множества, ну вот одно, второе, третье, и это вот множества каких-то элементов, неважно каких, и все эти множества непустые, то есть вот в каждом из них что-то есть, хоть один элемент, то можно каким-то способом, причём неважно каким, из этих множеств надёргать по одному элементу и сделать из этих элементов новое множество. В нём будет столько элементов, сколько в исходном наборе было множеств.

Ну то есть вот для любого набора множеств можно придумать какой-нибудь способ сформировать такое множество, в котором будут по одному элементу из каждого из исходных множеств. Очевидно? Конечно, очевидно: если в множестве есть элементы, ну уж как-нибудь мы один-то из них выберем, разве нет? И так для каждого, сколько их там есть, этих множеств, ну, по одному-то выберем.

Так вот, математики уже вторую сотню лет спорят, стоит ли вообще эту аксиому использовать, то есть нужны ли такие теоремы, которые без неё не доказываются. На самом деле там дело в чём, если множества вот эти вот конечные, ну вот которые рассматриваются в наборе, то там проблем никаких нет, но там и аксиома эта не нужна. Почему — потому что можно доказать из других аксиом теории множеств, что по одному элементу надёргать можно.

Даже если самих множеств, ну то есть сам вот этот набор, он бесконечный, неважно, ничего страшного нет. Даже если эти множества, которые в наборе, даже если они все бесконечные, но счётные, ну, есть вот разные виды бесконечности, ну там континуальная бесконечность, или вот счётная, самая меньшая из них, это тоже ничего страшного. Вот если там континуумы, там уже пострашнее будет, но в некоторых случаях, даже если там континуумы, всё равно не нужна аксиома выбора, потому что вот эта вот возможность выбора по одному элементу из множеств, она просто доказывается из других соображений.

Но: в некоторых случаях — не доказывается, невозможно доказать. И вот тут фиксируется, чтобы не было вот этого вот неудобства, что ну как же так, а вдруг не выберем, фиксируется эта самая аксиома выбора.

Ну то есть на самом деле -- ну что, ну очевидно же, мы же можем по одному надёргать, даже если не можем этого доказать, всё равно ведь можем надёргать. И вот сначала Эрнст Цермело формулирует эту аксиому, ну, типа, без неё как-то неудобно, что-то там доказательства упираются в невозможности всякие.

А потом приходят сначала Феликс Хаусдорф, а потом ещё Стефан Банах и Альфред Тарский, и вот с помощью вот этой вот очевидной аксиомы доказывают такое, такое...

Короче говоря, кому интересно, поищте в интернете парадокс Банаха-Тарского. На самом деле вот при наличии аксиомы выбора это никакой не парадокс, это доказанная теорема, всё нормально. А в чём утверждение этой теоремы? Ну так, что можно взять шар — ну, вот шар — и разбить каким-то хитрым образом этот шар на кусочки, потом эти кусочки как-то хитро переставить, возможно, при этом поворачивая, перемещая как угодно, короче говоря в результате получить два шара. Таких как первый, таких же точно, но два.

Типа, это вот как шутят, что можно из картофелины сделать две такие же картофелины, пользуясь одним только ножом. Ну, это, конечно же, шутка, никакой нож так не режет, там кусочков этих предполагается бесконечное множество, иначе не получится. И самое интересное, что никто нам не рассказывает, какие конкретно это будут кусочки. Но что такое разбиение есть — это строго доказывается. Если, конечно, принять аксиому выбора.

Так что вот эту вот школьную ахинею про то, что якобы аксиомы такие простые, что их даже и доказывать не надо — забудьте эту чушь, как страшный сон. Очевидных утверждений вообще нет, есть интуитивные. И иногда интуиция нас обманывает.

А аксиомы — аксиомы принимаются, то есть предполагаются верными, но просто чтобы с чего-то начать. Очень важно — они принимаются вовсе не «на веру», они просто принимаются. Вот здесь и сейчас. А когда что-то принимается на веру, это обычно навсегда или по крайней мере надолго.

Между прочим, вплоть до XVIII века математики были уверены, что аксиомы именно что верны, то есть это такие утверждения, которые хоть и нельзя доказать, но они вот просто верны, и точка. Этакие, в современной терминологии, догмы. Со всей этой догматикой было покончено в XIX веке, когда до математиков постепенно начало кое-что доходить. А доходить оно стало в результате долгих попыток доказать так называемый пятый постулат Евклида.

Сам Евклид этот постулат сформулировал несколько сложновато, что-то вроде если две прямые пересекают третью и по одну сторону от этой третьей образуют углы, в сумме меньшие двух прямых углов, то эти две прямые рано или поздно пересекутся, причём как раз вот по эту сторону, где их сумма меньше двух прямых. Надо сказать, что в таком виде это довольно громоздко и избыточно, тут, например, можно не уточнять, что они именно по эту сторону пересекутся, это доказывается, то есть постулировать, в аксиому превращать это не надо. Вообще уже достаточно давно в геометрии в большинстве изложений используется существенно более простой вариант пятого постулата, именно такой, скорее всего, вам в школе и рассказывали, что что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну. Этого достаточно. Вот тот оригинальный вариант, который Евклид предложил, он из вот этого просто доказывается, поэтому соответственно этот как более простой используется в качестве аксиомы.

Но даже в таком виде утверждение выглядит более сложным, чем другие аксиомы Евклида, и поэтому его много кто пытался доказать как теорему, основываясь на остальных евклидовых аксиомах. И каждый раз ничего не получалось. От полной безысходности начали пробовать доказывать от противного. Ну то есть вот как, берём какую-нибудь аксиому и меняем на противоположную, а точнее, вот этот вот пятый постулат меняем на что-нибудь другое, и вот пытаемся что-то такое доказывать из этого, ждём, когда к противоречию придём, где оно там вылезет, это противоречие.. А оно, зараза, вместо противоречия — наоборот, всё сходится. Получаются теоремы, одна за другой, доказываются, нормально всё, причём сначала они совпадают с классическими евклидовыми, потому что там не всё на этот пятый постулат завязано, потом начинают отличаться, вот сумма углов треугольника, например, не 180 градусов в такой геометрии уже, никак. Но никакого противоречия не получается, вот в чём проблема.

Забавно, что это не сразу признали. То есть сначала там были математики, которые противоречие высасывали из пальца там, где его на самом деле нет, то есть ничего ничему не противоречит, но они говорят, что вот оно, всё, вот тут противоречие, все свободны, я отдыхать пошёл. И успокаивались на этом. Потом был какой-то дядька, который честно признал, что противоречия не нашёл. Он, кстати, довольно далеко продвинулся в построении новой геометрии, но сам не понял, что сделал. Решил, что ну вот не получилось, ну не склалось, ну нишмагла, ладно, окей.

Потом начало потихоньку доходить, там почти одновременно несколько серьёзных математиков, включая небезызвестного Карла Гаусса, поняли, что вообще имеют дело именно что с альтернативной геометрией, которая вообще-то ничуть не хуже, чем евклидова. Но публиковать такие выводы не решились. Времена, понимаете, такие были, с вами могли перестать дружмть. Ну, типа, сбрендил, еретик фигов, чего с ним дружить-то.

Так вот, собственно говоря, Лобачевский, Николай Иваныч его звали, от предшественников он отличался тем, что таки решился выступить открыто. А Гаусс, кстати, Лобачевского заметил, известно, что он работы Лобачевского рекомендовал другим математикам в переписке, в письмах. Но сам так ничего и не опубликовал, состорожничал. С пятым постулатом Лобачевский поступил просто: постулировал, что через точку вне данной прямой можно провести по меньшей мере две прямые, параллельные данной. А остальные аксиомы Евклида оставил как есть.

Что любопытно, Лобачевский не предложил визуальной интерпретации, то есть вот он не предложил, как их можно нарисовать, такие прямые, что должно быть «прямыми», чтобы выполнялась его геометрия, но её уже потом придумали — вот такая вот хитрая двумерная поверхность, не только эта, их есть разных, на которых работает, собственно говоря, геометрия Лобачевского.

Есть и другие неевклидовы геометрии, есть геометрия Римана, есть геометрия сферическая, это, кстати говоря, разные вещи, их люди часто путают, но зря. Так вот, там вообще любые прямые пересекаются, то есть параллельных просто нет, и там и там, и в Римана, и в сферической. Но с теми геометриями чуть сложнее дело обстоит, там если это вот просто постулировать, ну что все прямые пересекаются, там это войдёт в противоречие с другими аксиомами, то есть приходится подправлять больше аксиом, один только пятый постулат — им нельзя ограничиться в этом случае. А геометрия Лобачевского вот ровно одной аксиомой отличается, чем, собственно, и замечательна. Ну и тем, что она была первой. По крайней мере, опубликована.

К чему я это всё. Вот есть две системы постулатов про одно и то же. Собственно говоря, про точки и прямые на плоскости. Они, как мы видим, расходятся. А вот можете себе представить, чтобы геометры поделились на каких-нибудь "наследников Евклида" и, скажем, "пророков Лобачевского" и устроили какую-нибудь священную войну? Гаусс, кстати, чего-то такого опасался, но на тот момент возможность существования разных аксиоматических систем была в новинку. А сейчас мир к этому уже привык, особенно сами математики. Больше того, я вот чуть раньше сказал, что геометрия Лобачевского работает на неких поверхностях. Что это значит? Если взять обычное евклидово пространство, только трёхмерное уже, то есть добавить стереометрические аксиомы, и в нём провести соответствущие поверхности — то вот на этих поверхностях будут выполняться аксиомы (и теоремы, естественно) геометрии Лобачевского. То есть получается, что мы выстраиваем некое пространство, в данном случае двумерное, используя одни аксиомы, Евклидовы, мы же трёхмерное взяли Евклидово, и в нём описали в соответствии с классической аксиоматикой вот эту вот поверхность, но вот когда мы уже рассматриваем только эту поверхность, там уже — ну а поверхность математики тоже называют пространством, просто двумерным, так вот в этом новом пространстве работают уже другие аксиомы. Исходные аксиомы при этом никуда не деваются, просто меняется наполнение понятия «прямая». Даже не так уж и сильно меняется, на самом-то деле. Кратчайшая траектория между двумя точками на вот этой вот хитрой поверхности, то есть когда мы не имеем права выходить за пределы поверхности, вот кратчайшая траектория как раз и будет кусок прямой. Для тех прямых, то есть вот это и будут те прямые, которые соответствуют геометрии Лобачевского. Просто с точки зрения евклидовой, так сказать, стереометрии уже, это не будут прямые, это будут такие весьма изогнутые линии. Как и сама поверхность весьма гнутая. Но вот в аксиоматике Лобачевского это будут прямые, Ну а, типа, какие же они прямые? Ну какие, вот такие вот прямые. Они определяются аксиомами, нет же определения прямой, правильно? Собственно говоря, аксиомы как раз и фиксируют, что такое точка и прямая, а потом ещё и что такое плоскость, когда добавляются стереометрические аксиомы.

Иной вопрос, что пространство Лобачевского, как и евклидово, может быть и трёхмерным, и эн-мерным, и уже начиная с трёхмерного это всё не так просто себе представить. То есть тут мы просто поверхность выгнули, и даже смогли это как-то нарисовать, а вот попробуй-ка так изогни всё пространство, всё целиком, вот всё наше трёхмерное, и попробуй себе это представить. Кто-то может, но кто-то не может, то есть это уже нужно очень серьёзное воображение.

Но вот, скажу это на всякий случай, тут вот нам потребовались хитрые поверхности, но кроме геометрии Лобачевского, существуют и другие системы аксиом, порождающие соответствующие — другие — неевклидовы геометрии. На мой взгляд, самая простая из них, ну, для восприятия простая — это геометрия сферы. Ну, вот глобус возьмите, и вот вам она. К вопросу о кратчайших расстояниях, вот любой штурман знает, что кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности Земли — оно идёт вдоль так называемой дуги большого круга.

Большой круг — это вот, значит, на сфере у него диаметр совпадает с диаметром сферы, то есть на данной сфере больше круг сделать нельзя, он на сфере не поместится. На глобусе, например, большими кругами являются экватор и каждый из меридианов. Можно, конечно, и другие большие круги нарисовать, сколько угодно, но вот это вот примеры больших кругов — меридианы и экватор. Ну, точнее, это окружность, а не круг, но штурманы говорят именно про дугу большого круга, так у них повелось.

Вот тут что важно — если по плоской карте провести прямую по линейке — это не будет кратчайшее расстояние. Просто потому что когда сферу, собственно Землю, поверхность Земли, как-то там проецируют на плоскую карту, получаются нелинейные искажения. И большие круги, которые на сфере были как будто прямые, ну, на глобусе, они похожи, прямо как-то так идут, что меридианы, что экватор, так вот они при проецировании становятся изогнутыми. Ну, в зависимости от разных проекций, ну, видели, наверное, карты в разных проекциях, там либо меридианы изогнутые, либо экватор изогнутый, либо и то и другое прямое, но тогда полюс, и южный, и северный, превращаются во всю ширину карты. И, конечно, там искажения в приполярных областях вообще безумные на таких картах.

При искажениях и кратчайший путь между точками может на карте выглядеть такой как бы дугой, ну это не совсем дуга будет, но не прямая, во всяком случае. Какая-то изогнутая линия. А на самом деле она вот на сфере как раз, а на самом деле на поверхности Земли это как раз вот кратчайшее расстояние между точками, то, что мы обычно называем прямой.

Ну вот в сферической геометрии как раз большие круги в роли прямых, параллельных прямых не существует, любые две прямые — вот в этом смысле прямые — пересекаются ровно в двух точках. И это тоже своя отдельная система аксиом, своя отдельная геометрия. Вот можете себе представить, чтобы какие-нибудь сторонники евклидовой геометрии заявили бы, что они верят в свои аксиомы? Потом можно ещё объявить всех штурманов и прочих всяких географов еретиками и устроить против них крестовый поход.

Если такое вдруг и произойдёт, это будут не математики, а фрики, которые сами себя почему-то называют математиками. Настоящий же математик прекрасно знает, что системы аксиом бывают разные, он сам, возможно, в своих исследованиях прыгал из одной системы в другую и обратно. Больше того, для разных систем аксиом имеются краткие обозначения, и про некоторые теоремы известно, что они в этой системе выполняются (доказаны), в другой не выполняются, в третьей выполняется полная противоположность. Ну вот в частности с этой аксиоме выбора, там в зависимости от того, принимать её или не принимать, там такое начинается. Ну, если вернуться к аксиоме выбора, то обычно про теоремы, которые только с ней доказываются, это прямо явно уточняется, что да, вот эта теорема имеет место только если принять аксиому выбора.

Ну ладно. что-то я увлёкся математикой. Что тут важно для нас — так это то, что аксиомы — это вовсе не утверждения, которые нельзя доказать, но они всё равно верны (та же аксиома выбора, ага). И даже не такие, которые мы принимаем на веру. Я бы сказал, что они тем более не такие. В аксиомы не надо верить. Их можно просто зафиксировать, чтобы построить некую теорию. Потом поменять аксиомы и построить другую теорию. И обе теории могут оказаться полезны.

Чем принципиально отличаются математики со всеми этими их аксиомами от верующих? Математики про свои аксиомы помнят и не забывают, что сами их выбрали и могут в любой момент выбрать другие, чтобы посмотреть, что получится. То есть математики — прямо-таки хозяева своих аксиом. Хочу сейчас — в такой аксиоматике работаю, надоело — в другой поработал, всё нормально, какие хочу аксиомы, такие и фиксирую.

А вот с верующими дело обстоит прямо наоборот: если вы во что-то всерьёз уверовали, неважно, в бога, в чёрта или в коммунизм — вы перестаёте быть хозяином ситуации. Для этого, собственно говоря, существуют всевозможные священные писания. Допустив в принципе возможность того, что религиозная или иная идеологическая доктрина имеет что-то общее с истиной, человек попадает в поток «аргументов»", представляющих собой на самом деле просто ссылки, вот смотри, вот там-то написано так-то, или вот такой-то тогда-то говорил то-то и то-то, «ибо сказано», вот это вот всё. Вы ведь замечали эту их нездоровую страсть к цитатам из той же Библии, или из Корана, или ещё откуда-нибудь? Все эти цитаты не значат ровным счётом ничего для любого, кто не верит в некую «священность» их источников, но ыот если в неё поверить хоть чуть-чуть — ну, всё, кранты. Фишка в том, что веру только чуть-чуть пропусти в собственную голову, и голова больше не твоя. Вами теперь владеют те догмы, в которые вы имели неосторожность поверить. Иначе говоря, верующий — просто раб своей веры. Собственно говоря, для этого все идеологии, в том числе и религии, как раз и предназначены: отобрать у людей свободу мышления и превратить их в идейных рабов.

Известно, кстати, что верующих сравнительно легко перетащить из одной веры в другую, но вот сделать их обратно неверующими — такое случается, но обычно не в результате целенаправленных действий. Просто бывает, крайне редко, что человек разочаровывается в вере, а другой веры сразу не попадается. Знаете, мне встречались люди, которые как раз из одной веры ушли и ищущие другой веры. Они это называли «процесс духовного поиска». Лично мне, ну, скажем так, стороннему наблюдателю, это очень напоминает такую картину, что раб сбежал от хозяина и ищет другого хозяина, потому что как же рабу совсем без хозяина.

Разумеется, не всякие личные убеждения можно назвать верой. Вера — это частный случай личных убеждений. На всякий случай подчеркну, неважно, во что вера. Хоть в бога, хоть в коммунизм, хоть в права человека, мы с вами говорили, что это тоже идеологическая доктрина, права человека в современном понимании. Но вот это вот «неважно во что» даёт на самом деле ключ к пониманию отличия веры от любых таких убеждений, которые верой не являются. Неважно, во что человек верит. Важно, кому он верит. Почему-то (ага, почему-то) всегда получается так, что верующие верят очень плохим людям. Очень плохим. Самым плохим людям на свете.

Сменив одну веру на другую, на самом деле они ничего не меняют. Просто одних плохих людей меняют на других плохих людей, но разве это что-то меняет в жизни?

А бог тут, как мы понимаем, вообще ни при чём. Ни бог, ни Ктулху, ни коммунизм. Я сейчас скажу ещё одну вещь о боге, вот в истинности этого утверждения о боге я совершенно уверен. Почему я так в этом уверен — объясню в одном из следующих роликов.

Так вот. Если бог есть (а я предполагаю, что он есть, хотя, напомню, ничуть на этом не настаиваю, как не стал бы настаивать на верности евклидовой геометрии против сферической) — так вот, если бог есть, то уж на что ему совершенно наплевать — так это на то, верите вы в него или нет. Так что вера — она не от бога, она от людей. Притом очень и очень плохих людей.

Спасибо за внимание.